Chéo hóa một ma trận có thể được hiểu là việc quay các trục tọa độ để cho chúng thẳng hàng với các vectơ riêng.

Nếu một ma trận A {\displaystyle A} chéo hóa được, tức là

P − 1 A P = ( λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … λ n ) , {\displaystyle P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}

thì:

A P = P ( λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … λ n ) . {\displaystyle AP=P{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}.}

Viết P {\displaystyle P} dưới dạng ma trận khối gồm các vectơ cột của nó α → i {\displaystyle {\vec {\alpha }}_{i}}

P = ( α → 1 α → 2 ⋯ α → n ) , {\displaystyle P={\begin{pmatrix}{\vec {\alpha }}_{1}&{\vec {\alpha }}_{2}&\cdots &{\vec {\alpha }}_{n}\end{pmatrix}},}

phương trình trên có thể được viết lại dưới dạng

A α → i = λ i α → i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) . {\displaystyle A{\vec {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\vec {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\cdots ,n).}

Vì vậy các vectơ cột của P {\displaystyle P} là các vectơ riêng bên phải của A {\displaystyle A} (còn các vectơ hàng của P − 1 {\displaystyle P^{-1}} là các vectơ riêng bên trái), và các giá trị trên đường chéo tương ứng với các giá trị riêng của chúng. Từ sự khả nghịch của P {\displaystyle P} cũng có thể thấy rằng các vectơ riêng là độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của F n {\displaystyle F^{n}} . Đây là điều kiện cần và đủ cho sự chéo hóa được và là cách tiếp cận chính tắc của việc chéo hóa: tức là ta biểu diễn A {\displaystyle A} đối với cơ sở riêng của nó.

Khi một ma trận phức A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} là ma trận Hermite (hay tổng quát hơn, là ma trận chuẩn tắc), các vectơ riêng của A {\displaystyle A} có thể được chọn để tạo ra một cơ sở trực chuẩn của C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} , khi đó P {\displaystyle P} có thể được chọn là ma trận unita. Ngoài ra nếu A ∈ R n × n {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}} là một ma trận đối xứng thực thì các vectơ riêng của nó có thể được chọn là một cơ sở trực chuẩn của R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} và P {\displaystyle P} có thể được chọn là ma trận trực giao.

Đối với hầu hết các mục đích thực tiễn, các ma trận được chéo hóa bằng số nhờ sử dụng các phần mềm máy tính. Nhiều thuật toán đã ra đời để thực hiện điều này.